SOAL limit fungsi beserta jawabannya dan pembahasannya

 

Berikut adalah beberapa soal pilihan ganda tentang limit fungsi beserta jawabannya dan pembahasannya:

Soal 1

Diketahui fungsi $𝑓(𝑥)=\frac{2{𝑥}^2-3𝑥+1}{𝑥-1}$. Berapakah limit fungsi tersebut saat $𝑥$ mendekati 1?

a) 1
b) 0
c) -1
d) Tak terdefinisi
e) $\mathrm{\infty }$

Jawaban: d) Tak terdefinisi

Pembahasan:

Saat $𝑥$ mendekati 1: $𝑓(𝑥)=\frac{2{𝑥}^2-3𝑥+1}{𝑥-1}$

Substitusi $𝑥=1$: $𝑓(1)=\frac{2(1{)}^2-3(1)+1}{1-1}$ $𝑓(1)=\frac{2-3+1}{0}$ $𝑓(1)=\frac{0}{0}$

Hasilnya adalah bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$. Fungsi ini tak terdefinisi di $𝑥=1$.

Soal 2

Berapakah limit dari ${\lim }_{𝑥\to 2}({𝑥}^2-4)$?

a) 0
b) 2
c) 4
d) 8
e) Tak terhingga

Jawaban: a 0

Pembahasan:

Substitusi langsung $𝑥=2$: ${\lim }_{𝑥\to 2}({𝑥}^2-4)=(2^2-4)$ $=(4-4)$ $=0$

Soal 3

Diketahui $𝑓(𝑥)=\frac{{𝑥}^2-4}{𝑥-2}$. Berapakah limit fungsi tersebut saat $𝑥$ mendekati 2?

a) 0
b) 2
c) 4
d) 8
e) Tidak ada

Jawaban: c) 4

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan bentuk $\frac{0}{0}$, kita faktorkan pembilangnya: $𝑓(𝑥)=\frac{{𝑥}^2-4}{𝑥-2}=\frac{(𝑥-2)(𝑥+2)}{𝑥-2}$

Kemudian, kita dapat menyederhanakan dengan menghapus $𝑥-2$: $𝑓(𝑥)=𝑥+2$

Substitusi $𝑥=2$: ${\lim }_{𝑥\to 2}(𝑥+2)=2+2=4$

Soal 4

Berapakah limit dari ${\lim }_{𝑥\to 0}\frac{\sin 𝑥}{𝑥}$?

a) 0
b) 1
c) $-1$
d) $\mathrm{\infty }$
e) Tidak ada

Jawaban: b) 1

Pembahasan:

Ini adalah limit trigonometri standar: ${\lim }_{𝑥\to 0}\frac{\sin 𝑥}{𝑥}=1$

Soal 5

Berapakah limit dari ${\lim }_{𝑥\to \mathrm{\infty }}\frac{3{𝑥}^2+2𝑥}{{𝑥}^2-𝑥}$?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) Tidak ada

Jawaban: c) 3

Pembahasan:

Bagi pembilang dan penyebut dengan ${𝑥}^2$: ${\lim }_{𝑥\to \mathrm{\infty }}\frac{3{𝑥}^2+2𝑥}{{𝑥}^2-𝑥}={\lim }_{𝑥\to \mathrm{\infty }}\frac{3+\frac{2}{𝑥}}{1-\frac{1}{𝑥}}$

Saat $𝑥\to \mathrm{\infty }$, $\frac{2}{𝑥}\to 0$ dan $\frac{1}{𝑥}\to 0$: ${\lim }_{𝑥\to \mathrm{\infty }}\frac{3+0}{1-0}=\frac{3}{1}=3$

Soal 6

Berapakah limit dari ${\lim }_{𝑥\to 1}\frac{{𝑥}^3-1}{𝑥-1}$?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) Tidak ada

Jawaban: c) 3

Pembahasan:

Kita dapat faktorkan pembilangnya: ${𝑥}^3-1=(𝑥-1)({𝑥}^2+𝑥+1)$

Jadi, ${\lim }_{𝑥\to 1}\frac{{𝑥}^3-1}{𝑥-1}={\lim }_{𝑥\to 1}\frac{(𝑥-1)({𝑥}^2+𝑥+1)}{𝑥-1}$ $={\lim }_{𝑥\to 1}({𝑥}^2+𝑥+1)$

Substitusi $𝑥=1$: $=1^2+1+1=3$

Soal 7

Berapakah limit dari ${\lim }_{𝑥\to -1}\frac{{𝑥}^2-1}{𝑥+1}$?

a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2

Jawaban: e) 2

Pembahasan:

Kita faktorkan pembilangnya: ${𝑥}^2-1=(𝑥-1)(𝑥+1)$

Jadi, ${\lim }_{𝑥\to -1}\frac{{𝑥}^2-1}{𝑥+1}={\lim }_{𝑥\to -1}\frac{(𝑥-1)(𝑥+1)}{𝑥+1}$

Sederhanakan: $={\lim }_{𝑥\to -1}(𝑥-1)$

Substitusi $𝑥=-1$: $=-1-1=-2$

Soal 8

Berapakah limit dari ${\lim }_{𝑥\to 0}\frac{{𝑒}^{𝑥}-1}{𝑥}$?

a) 0
b) 1
c) e
d) $\mathrm{\infty }$
e) Tidak ada

Jawaban: b) 1

Pembahasan:

Ini adalah limit eksponensial standar: ${\lim }_{𝑥\to 0}\frac{{𝑒}^{𝑥}-1}{𝑥}=1$

Soal 9

Berapakah limit dari ${\lim }_{𝑥\to 0}\frac{\ln (1+𝑥)}{𝑥}$?

a) 0
b) 1
c) -1
d) $\mathrm{\infty }$
e) Tidak ada

Jawaban: b) 1

Pembahasan:

Ini adalah limit logaritma standar: ${\lim }_{𝑥\to 0}\frac{\ln (1+𝑥)}{𝑥}=1$

Soal 10

Berapakah limit dari ${\lim }_{𝑥\to 2}\frac{{𝑥}^2-4}{𝑥-2}$?

a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) Tidak ada

Jawaban: b) 4

Pembahasan:

Kita faktorkan pembilangnya: ${𝑥}^2-4=(𝑥-2)(𝑥+2)$

Jadi, ${\lim }_{𝑥\to 2}\frac{{𝑥}^2-4}{𝑥-2}={\lim }_{𝑥\to 2}\frac{(𝑥-2)(𝑥+2)}{𝑥-2}$

Sederhanakan: $={\lim }_{𝑥\to 2}(𝑥+2)$

Substitusi $𝑥=2$: $=2+2=4$