Soal Turunan dan jawaban

Berikut adalah beberapa soal pilihan ganda tentang turunan fungsi beserta jawabannya dan pembahasannya:

Soal 1

Diketahui fungsi $𝑓(𝑥)=3{𝑥}^2+2𝑥+1$. Berapakah turunan pertama dari fungsi tersebut?

a) $6𝑥+2$
b) $6𝑥+1$
c) $3{𝑥}^2+2$
d) $6{𝑥}^2+2$
e) $6𝑥+3$

Jawaban: a) 6x + 2

Pembahasan:

Turunan dari $𝑓(𝑥)=3{𝑥}^2+2𝑥+1$ adalah: ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=\frac{𝑑}{𝑑𝑥}(3{𝑥}^2)+\frac{𝑑}{𝑑𝑥}(2𝑥)+\frac{𝑑}{𝑑𝑥}(1)$ ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=6𝑥+2$

Soal 2

Diketahui fungsi $𝑔(𝑥)={𝑥}^3-4𝑥+6$. Berapakah turunan pertama dari fungsi tersebut?

a) $3{𝑥}^2-4$
b) $3{𝑥}^2-4𝑥$
c) $3{𝑥}^2+4$
d) $3𝑥-4$
e) ${𝑥}^2-4$

Jawaban: a) 3x^2 - 4

Pembahasan:

Turunan dari $𝑔(𝑥)={𝑥}^3-4𝑥+6$ adalah: ${𝑔}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=\frac{𝑑}{𝑑𝑥}({𝑥}^3)+\frac{𝑑}{𝑑𝑥}(-4𝑥)+\frac{𝑑}{𝑑𝑥}(6)$ ${𝑔}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=3{𝑥}^2-4$

Soal 3

Diketahui fungsi $ℎ(𝑥)=\sin 𝑥$. Berapakah turunan pertama dari fungsi tersebut?

a) $\cos 𝑥$
b) $-\cos 𝑥$
c) $\sin 𝑥$
d) $-\sin 𝑥$
e) $\sec 𝑥$

Jawaban: a) $\cos 𝑥$

Pembahasan:

Turunan dari $ℎ(𝑥)=\sin 𝑥$ adalah: ${ℎ}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=\cos 𝑥$

Untuk menemukan nilai $𝑥$ pada puncak stasioner dari fungsi $𝑘(𝑥)={𝑥}^3-6{𝑥}^2+9𝑥+1$, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan menyetarakannya dengan nol untuk menemukan titik-titik kritis.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. Mencari turunan pertama dari $𝑘(𝑥)$:

   $${𝑘}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=\frac{𝑑}{𝑑𝑥}({𝑥}^3-6{𝑥}^2+9𝑥+1)$$
   $${𝑘}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=3{𝑥}^2-12𝑥+9$$

2. Menyetarakan turunan pertama dengan nol untuk menemukan titik-titik kritis:

   $$3{𝑥}^2-12𝑥+9=0$$

3. Memecahkan persamaan kuadrat tersebut:

   $${𝑥}^2-4𝑥+3=0$$
   $$(𝑥-1)(𝑥-3)=0$$
   $$𝑥=1\text{atau}𝑥=3$$

Selanjutnya, kita perlu memeriksa nilai-nilai ini untuk menentukan mana yang merupakan puncak stasioner (maksimum lokal atau minimum lokal). Kita lakukan ini dengan memeriksa turunan kedua dari $𝑘(𝑥)$.

4. Mencari turunan kedua dari $𝑘(𝑥)$:

   $${𝑘}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(𝑥)=\frac{𝑑}{𝑑𝑥}(3{𝑥}^2-12𝑥+9)$$
   $${𝑘}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(𝑥)=6𝑥-12$$

5. Mengevaluasi turunan kedua pada titik-titik kritis:

   • Untuk $𝑥=1$:
     $${𝑘}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=6(1)-12=-6(\text{negatif, sehingga }𝑥=1\text{ adalah maksimum lokal})$$
   • Untuk $𝑥=3$:
     $${𝑘}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(3)=6(3)-12=6(\text{positif, sehingga }𝑥=3\text{ adalah minimum lokal})$$

Dengan demikian, nilai $𝑥$ pada puncak stasioner (maksimum lokal) dari fungsi tersebut adalah $𝑥=1$.

Jadi, jawabannya adalah: a. 1